Logaritmus Tananyag

📚 Értelmezés és jelölések

Definíció

Az $a$ alapú logaritmus ($a > 0$, $a \neq 1$) a hatványozás inverz művelete:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

ahol $a$ az alap, $b$ a logaritmalandó mennyiség, $c$ a logaritmus értéke

Olvasata: „$a$ alapú logaritmusa $b$-nek egyenlő $c$-vel"

🏷️ Speciális jelölések

$\lg x = \log_{10} x$ — tízes alapú (Briggs-féle)
$\ln x = \log_e x$ — természetes alapú
$\log x$ — gyakran $\log_{10} x$ vagy $\log_2 x$

⚠️ Értelmezési tartomány

Alap: $a > 0$ és $a \neq 1$
Logaritmalandó mennyiség: $b > 0$
Logaritmus értéke: $c \in \mathbb{R}$ (bármilyen valós)

💡 Egyszerű példák

$\log_2 8 = 3$, mert $2^3 = 8$

$\log_3 81 = 4$, mert $3^4 = 81$

$\lg 100 = 2$, mert $10^2 = 100$

$\log_5 1 = 0$, mert $5^0 = 1$

$\log_4 2 = \frac{1}{2}$, mert $4^{1/2} = 2$

$\ln e = 1$, mert $e^1 = e$

📐 Tulajdonságok és azonosságok

Alapvető azonosságok

$$\log_a 1 = 0$$

$$\log_a a = 1$$

$$a^{\log_a x} = x$$

$$\log_a a^x = x$$

Műveleti tulajdonságok

Szorzat logaritmusa:

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

Hányados logaritmusa:

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

Hatvány logaritmusa:

$$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$

Gyök logaritmusa:

$$\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_a x$$

💡 Példák a tulajdonságokra

$\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$ ✓ ($2^5 = 32$)

$\lg \frac{1000}{10} = \lg 1000 - \lg 10 = 3 - 1 = 2$ ✓

$\log_3 27^2 = 2 \cdot \log_3 27 = 2 \cdot 3 = 6$ ✓ ($3^6 = 729 = 27^2$)

$\log_4 \sqrt{16} = \frac{1}{2} \cdot \log_4 16 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ ✓

🔄 Alapcsere képletek

Fő alapcsere képlet

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Bármely $c > 0$, $c \neq 1$ alapra átírható

Speciális esetek

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

$$\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}$$

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Hasznos összefüggések

$$\log_a b \cdot \log_b a = 1$$

$$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$$

$$\log_a b^n = n \cdot \log_a b$$

💡 Példák alapcserére

1. Számítsuk ki $\log_2 5$ értékét tízes alapú logaritmussal:

$\log_2 5 = \frac{\lg 5}{\lg 2} = \frac{0{,}699}{0{,}301} \approx 2{,}32$

2. Ellenőrizzük, hogy $\log_3 9 \cdot \log_9 3 = 1$:

$\log_3 9 = 2$ és $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, tehát $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ ✓

➕➖ A logaritmus előjele

⚠️ Fontos szabály

A logaritmus előjele az alaptól ÉS a logaritmalandó mennyiségtől is függ!

Feltétel	$\log_a b$ előjele	Magyarázat
$a > 1$ és $b > 1$	Pozitív (+)	$a$-t növelni kell 1-nél nagyobbra
$a > 1$ és $0 < b < 1$	Negatív (−)	$a$-t csökkenteni kell 1-nél kisebbre
$0 < a < 1$ és $b > 1$	Negatív (−)	Fordított viselkedés
$0 < a < 1$ és $0 < b < 1$	Pozitív (+)	Fordított viselkedés
Bármely $a$ és $b = 1$	Nulla (0)	$a^0 = 1$ mindig

✅ Egyszerű szabály

$\log_a b > 0 \iff (a-1)(b-1) > 0$

Azaz: $a$ és $b$ az 1-nek ugyanazon oldalán van

💡 Példák

Pozitív:

$\log_2 8 = 3 > 0$ (mindkettő > 1)

$\log_{0{,}5} 0{,}25 = 2 > 0$ (mindkettő < 1)

Negatív:

$\log_2 0{,}5 = -1 < 0$

$\log_{0{,}5} 4 = -2 < 0$

🧮 Logaritmusos egyenletek

Megoldási módszerek

1️⃣ Definíció alkalmazása:

$\log_a x = b \implies x = a^b$

2️⃣ Azonos alapra hozás:

$\log_a f(x) = \log_a g(x) \implies f(x) = g(x)$

3️⃣ Helyettesítés:

Legyen $t = \log_a x$, majd vissza

⚠️ FONTOS: Értelmezési tartomány!

Minden megoldásnál ellenőrizd:

A logaritmalandó mennyiség pozitív-e: $f(x) > 0$
Az alap megfelelő-e: $a > 0$ és $a \neq 1$

💡 Megoldott példák

1. példa: $\log_3 x = 4$

Megoldás: $x = 3^4 = 81$

Ellenőrzés: $81 > 0$ ✓

2. példa: $\log_2 (x+3) = 5$

$x + 3 = 2^5 = 32$

$x = 29$

Ellenőrzés: $29 + 3 = 32 > 0$ ✓

3. példa: $\lg x + \lg (x-3) = 1$

$\lg [x(x-3)] = 1$

$x(x-3) = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x-5)(x+2) = 0 \implies x = 5$ vagy $x = -2$

Ellenőrzés: $x = 5$ ✓ ($5 > 0$ és $5-3 = 2 > 0$)

$x = -2$ ✗ (negatív nem lehet logaritmandus)

⚖️ Logaritmusos egyenlőtlenségek

⚠️ Kritikus szabály!

Az egyenlőtlenség iránya az alaptól függ!

Ha $a > 1$:

$\log_a x > \log_a y \iff x > y$

(irány megmarad)

Ha $0 < a < 1$:

$\log_a x > \log_a y \iff x < y$

(irány megfordul!)

Megoldási lépések

Értelmezési tartomány meghatározása (logaritmalandó mennyiség > 0)
Egyenlőtlenség átalakítása
Figyelni az alap nagyságára (irányváltás!)
Metszet képzése az értelmezési tartománnyal

💡 Megoldott példák

1. példa: $\log_2 x > 3$

Értelmezési tartomány: $x > 0$

Mivel $2 > 1$, az irány megmarad:

$x > 2^3 = 8$

Megoldás: $x \in (8; +\infty)$

2. példa: $\log_{0{,}5} x > 2$

Értelmezési tartomány: $x > 0$

Mivel $0{,}5 < 1$, az irány megfordul:

$x < 0{,}5^2 = 0{,}25$

ÉT-tel metszet: $0 < x < 0{,}25$

Megoldás: $x \in (0; 0{,}25)$

3. példa: $\log_3 (2x-1) \leq 2$

ÉT: $2x - 1 > 0 \implies x > 0{,}5$

Mivel $3 > 1$: $2x - 1 \leq 9$

$2x \leq 10 \implies x \leq 5$

ÉT-tel metszet: $0{,}5 < x \leq 5$

Megoldás: $x \in (0{,}5; 5]$

✅ Összefoglaló táblázat

Egyenlőtlenség	$a > 1$	$0 < a < 1$
$\log_a x > b$	$x > a^b$	$0 < x < a^b$
$\log_a x < b$	$0 < x < a^b$	$x > a^b$