Első- és másodfokú egyenletek

Elsőfokú egyenletek

📝 Általános alak

$ax + b = 0$

ahol $a \neq 0$

🔍 Megoldás

$$x = -\frac{b}{a}$$

Az egyenletnek pontosan egy megoldása van.

📐 Geometriai jelentés

Az $y = ax + b$ egyenes és az $x$-tengely metszéspontja.

📈 Monotonitás (Növekedés/Csökkenés)

Ha $a > 0$:

• Növekvő a teljes értelmezési tartományon

Ha $a < 0$:

• Csökkenő a teljes értelmezési tartományon

🔍 Pont-egyenes illeszkedés

Egy $P(x_0, y_0)$ pont az egyenesen van, ha:

$$y_0 = ax_0 + b$$

Behelyettesítve az x koordinátát, megkapjuk az y értéket.

�� Példa

$2x + 6 = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

🧮 Interaktív kalkulátor

2x + 6 = 0

Együttható: a (x együtthatója)

Konstans: b

📈 Grafikon

🎯 Pont illeszkedés ellenőrzése

Adj meg egy pontot és nézd meg, rajta van-e az egyenesen!

x-koordináta:

y-koordináta:

Másodfokú egyenletek

📝 Általános alak

$ax^2 + bx + c = 0$

ahol $a \neq 0$

🔍 Megoldók��plet

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

⚡ Diszkrimináns

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

• $\Delta > 0$: két különböző valós gyök (2 metszéspont az x-tengellyel)
• $\Delta = 0$: egy gyök (1 érintési pont az x-tengellyel)
• $\Delta < 0$: nincs valós gyök (nincs metszéspont az x-tengellyel)

📐 Geometriai jelentés

Az $y = ax^2 + bx + c$ parabola és az $x$-tengely metszéspontjai.

🎯 Parabola csúcspontja

Csúcspont: $V(x_v, y_v)$

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

$$y_v = -\frac{\Delta}{4a}$$

ahol $\Delta = b^2 - 4ac$ (diszkrimináns)

vagy behelyettesítve: $y_v = f(x_v)$

📈 Monotonitás (Növekedés/Csökkenés)

Ha $a > 0$ (felfelé nyíló parabola):

• Csökkenő: $(-\infty, x_v)$
• Növekvő: $(x_v, +\infty)$

Ha $a < 0$ (lefelé nyíló parabola):

• Növekvő: $(-\infty, x_v)$
• Csökkenő: $(x_v, +\infty)$

➕➖ Másodfokú függvény előjele

A függvény előjele függ a gyökök számától (Δ előjelétől) és az a együtthatótól:

Ha Δ > 0 (két valós gyök: x₁ < x₂):

• a > 0: f(x) > 0 ha x < x₁ vagy x > x₂; f(x) < 0 ha x₁ < x < x₂
• a < 0: f(x) < 0 ha x < x₁ vagy x > x₂; f(x) > 0 ha x₁ < x < x₂

Ha Δ = 0 (egy gyök: x₀):

• a > 0: f(x) > 0 ha x ≠ x₀; f(x₀) = 0
• a < 0: f(x) < 0 ha x ≠ x₀; f(x₀) = 0

Ha Δ < 0 (nincs valós gyök):

• a > 0: f(x) > 0 minden x-re
• a < 0: f(x) < 0 minden x-re

📏 Gyökök távolsága

Ha két valós gyök van ($x_1$ és $x_2$), akkor az x-tengellyel vett metszéspontok távolsága:

$$d = |x_1 - x_2|$$

A távolság mindig pozitív (abszolút érték).

Képlet a diszkriminánssal: $$d = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$

📍 Egyenlet felírása 3 pontból

Ha a parabola három különböző ponton átmegy: P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃)

Módszer:

Helyettesítsük be a három pontot az y = ax² + bx + c egyenletbe
Kapunk 3 egyenletet 3 ismeretlennel (a, b, c)
Oldjuk meg az egyenletrendszert

Példa egyenletrendszer:

ax₁² + bx₁ + c = y₁

ax₂² + bx₂ + c = y₂

ax₃² + bx₃ + c = y₃

🔗 Viète-formulák

Ha x₁ és x₂ a gyökök:

$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ (gyökök összege)

$$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$ (gyökök szorzata)

Az egyenlet felírása S és P segítségével:

$$x^2 - Sx + P = 0$$

Ahol S a gyökök összege, P a gyökök szorzata

📐 Egyenlet felírása gyökök alapján

Ha ismerjük a gyököket (x₁ és x₂):

a(x - x₁)(x - x₂) = 0

Kibontva: ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0

💡 Ha a = 1: x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

🧮 Gyökök négyzetösszege

Másodfokú egyenleteknél:

$$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$$

Ahol $S = x_1 + x_2$ és $P = x_1 \cdot x_2$

Behelyettesítve az eredeti együtthatókat:

$$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)$$

$$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$$

📘 Harmadfokú egyenletek

Ha $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, gyökök: $x_1, x_2, x_3$

Viète-formulák:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$$

Egyenlet gyökök alapján:

$$a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$$

Gyökök négyzetösszege:

$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)$$

$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$$

🧮 Interaktív kalkulátor

1x² + 0x + -4 = 0

Együttható: a (x² együtthatója)

Együttható: b (x együtthatója)

Konstans: c

📈 Parabola grafikon

🎯 Pont illeszkedés ellenőrzése

Adj meg egy pontot és nézd meg, rajta van-e a parabolán!

x-koordináta:

y-koordináta: